Mit kell ezen érteni? Tanuld meg…

Mit gondolna erről Pólya György tanár úr? Németh Anna írása

Egy igazi nagy pedagógus, egy rendkívüli matematikatanár, Pólya György megérdemli, hogy újra felfedezzük, módszerét, tanítási elveit újra tananyaggá tegyük a pedagógusképzésben.

„Mit kell ezen érteni? Tanuld meg!” Ezt az utasítást eddig kétszer hallottam. Először néhány éve egy anyukától, akit véletlenül kihallgattam egy étteremben: a szorzótábla gyakorlása közben ez volt a válasza kisgyerekének, aki egy szorzás eredményét akarta megérteni. A másik eset nagyon különleges: egy matematika szakos tanár válaszolta ezt egy 10. évfolyamos diákjának, amikor segítséget kért az online tanulási rendben a szinusz-koszinusz-tangens értelmezéséhez. Nem hivatkozott egy már elküldött, a szögfüggvényeket bemutató videóra, vagy ppt-re, nem írta azt sem, hogy a képletek azt mutatják, hogy egy derékszögű háromszög egyik oldala hányszorosa a másiknak, nem ajánlott sem tankönyvet, sem online elérhető más tananyagokat: egyszerűen a lehető legrövidebben feleslegesnek ítélte egy évezredek óta ismert, amúgy a hétköznapi problémákban jól használható séma megértését. Az ügy kapcsán kérdések merülnek fel…

Mi egy rendes matematikatanár feladata? Ezt persze mindenki tudja, hiszen mindenki tanulta, vagy tanulja a matekot: a tanár keltse fel diákjai érdeklődését, szerettesse meg velük a gondolkodást, így tanítványai legyenek jártasak a kreatív problémamegoldásban. Szándékosan írtam így, ezeket a közhelyeket használva. Úgy látom, hogy a média minden szintjén ezek szólnak, még ha más-más előjellel is… Azért sejtjük, hogy nem minden matektanár készít Harry Potter-es, vagy Star Wars-os ppt-ket, amelyekben animációkkal mutatja be azokat a jelenségeket, amelyeken keresztül a diák felfedezi az új ismeretet, vagy esetleg jópofa méréseken keresztül vezeti a nagyobbakat mondjuk a szögfüggvények megismerésére… A frappáns, elgondolkodtató és persze vidám kérdéseket tartalmazó kvízekről ne is beszéljünk! A már rutinos szaktanár sem tud 50-70 percnél gyorsabban elkészíteni egy ilyet, és átlagosan napi 5 órája van… Vajon hányan készülnek így az óráikra? A kompetenciamérések háttérkérdőívében a családi helyzet mellett ezt, a matematika órán folyó módszerek típusát is fel kellene mérni! Bizonyításra sem szorul, hogy a diákok matematikai teljesítményét jelentősen meghatározzák ezek is! Természetesen a tanórai feladatok jellegének és az elért eredményeknek a kapcsolatát vizsgálták már, és nem volt meglepetés…

De miért is kellene egy matektanárnak sokszor a szabadidejét is a tanítványaira áldozni? Mondjuk azért, mert ha nem így készül az óráira, ha a 100 éve alkalmazott
tábla+kréta+én_legalább_gyorsan_és_jól_megoldok_sok_feladatot
módszerrel dolgozik diákjaival (mert a tanmenet nagyon feszes, és úgysincs másra idő), akkor bizony a mai fiatalokat ritkán tudja megnyerni a matematikának. Ellenben a legegyszerűbb tananyagot is nagyon nehéz így megtanítania a mai diákoknak!

Valójában ez nem XXI. századi probléma, a múlt század nagy természettudósai, matematikusai szinte mindannyian hagytak ránk olyan ismertté vált gondolatot, amelyben az iskola ideális feladatáról beszéltek, és sejtjük, hogy annak idején sem működött hibátlanul az oktatás... Egy igazi nagy pedagógus, egy rendkívüli matematikatanár, Pólya György megérdemli, hogy újra felfedezzük, módszerét, tanítási elveit újra tananyaggá tegyük a pedagógusképzésben.

Ha a matematikatanár a rendelkezésre álló időt azzal tölti, hogy sablonos példákon gyakorlatoztatja tanítványait, akkor kiöli belőlük az érdeklődést, fékezi szellemi fejlődésüket, és visszájára fordítja kedvező lehetőségeit. Ha azonban tudásukhoz mért feladatokkal felkelti érdeklődésüket, és rávezető kérdésekkel segítségükre van a megoldásban, kedvet csinálhat nekik, és eszközt adhat kezükbe az önálló gondolkodáshoz.

Ezt kellene a matematikaórákon, sőt már a tanárképzésben is olyan komolyan alapvetésként kezelni, mint ahogy az orvosi esküvel teszik az egészségügyben. Pólya tanár úr nemcsak a tanítás elméletével foglalkozott, hanem munkáit akár kézikönyvként is lehetne használni, az abban található kérdezéstechnikai példái pedig a manapság igen divatos tréning típusú foglalkozásokon megállnák a helyüket, valódi kapaszkodót adva nemcsak kezdő tanároknak. A gondolkodás iskolája című könyve az egyik olyan műve, amely a tanításról, a tanítókhoz szól. A kognitív képességek fejlődésében is nélkülözhetetlen induktív gondolkodásmód minden sorában megtalálható.

Miért is fontos ez? Szükség van ma ilyen régi gondolatokra, a helyes kérdések összegyűjtésére, ilyen tréningekre a tanároknak, szükség van az induktív gondolkodási módszerek népszerűsítésére ma, a digitális tanrend, a multimédiás tapitévék, önjavító tesztek, okostankönyvek és a számtalan „Az út a megértéshez” honlap idején?

Nézzünk bele a reklámozott ingyenes és fizetős, a matematika tanulását segítő tananyagokba is, ne csak a tankönyvekbe. Már a harmadik-negyedik kisfilmnél vagy animációnál feltűnik, hogy valójában csak a tankönyvet olvassa fel valaki, jobb esetben egy-egy érdekes hétköznapi példát hallunk, vagy akár jópofa animációt is: ám a rendszer minden esetben ugyanaz: a lecke címében szereplő fogalom vagy tétel értelmezése, jelentésének bemutatása (ötletesebb tananyagban humorral, hétköznapi jelenségeken keresztül), végül pedig az erre vonatkozó mintapéldák megoldásainak magyarázata. Ez a matematika pontos, igényes, egzakt rendszerét mutatja, azt a rendszert, amely lehetővé teszi azt a sok-sok csodát, amelyet matematikai ismereteink nélkül most nem használhatnánk. Ám:

Az euklidészi módon tárgyalt matematika rendszeres, deduktív tudománynak tűnik; ezzel szemben a matematika – miközben dolgozik vele az ember – kísérleti, induktív jellegű. A matematika mindkét arculata ugyanolyan régi, mint maga a matematika. A második azonban egy tekintetben mégis új: a matematikát „in statu nascendi”, a születés, a felfedezés folyamatában még sohasem tették ilyen módon hozzáférhetővé sem diákok, sem a nagyközönség számára – írja Pólya tanár úr a már idézett A gondolkodás iskolája című könyvében.

Miért kellene egy matematikatanárnak másképp cselekednie, mint ahogy a tankönyvek bemutatják a matematika felépítményét? Én emlékszem a 15-16 éves gimnazista matekóráimra… Volt az ofőnek egy olyan mondata, ami a főiskolai, egyetemi éveim alatt is, de most tanárként minden héten megszólal bennem: „Vegyük észre, hogy…” Talán csak egyszer mertem megkérdezni tőle, hogy „Hogyan?”. Hogyan vegyem észre az összefüggést, ha még nem tudom, hiszen azért vagyok itt, hogy most megtudjam? Valami olyasmit válaszolhatott, hogy próbálkozzak, húzzak segédvonalakat, aztán az egyik majd csak jó lesz… Manapság pedig, amikor én állok a táblánál, és nagyon figyelek a kérdéseimre, amivel provokálni szeretném diákjaimat az ismeretek felfedezésében, néha belőlem is kicsúszik: „Vegyük észre…”

Pólya tanár úr ebben a könyvében a gondolat megszületését, a heurisztikus vizsgálatokat különleges, manapság nem igazán ismert feladatokon keresztül teszi láthatóvá, és nemcsak a felfedezéshez segítő kérdéseket, hanem az erre való válaszok megkereséséhez szükséges kognitív folyamatokat is láthatjuk könyvében.

Ha tudunk jól kérdezni, még mindig néha kevés ahhoz, hogy igazán jó gondolkodókat, matematikusokat neveljünk. Ha megfogadjuk Pólya tanár úr tanácsát, és semmiképpen sem sablonos sémák begyakorlását várjuk diákjainktól, hanem ismereteik alkalmazását teljesen új, az előzményekhez képest más szövegkörnyezetben, vagy igazán kreatív gondolkodást igénylő feladatot teszünk eléjük, akkor tanár úr szerint is mindenképpen nagyon hasznos, ha próbálkozásaikban megérzéseikre is támaszkodnak.

Bár a könyv a klasszikus feladatmegoldás lépéseivel – megértés, terv, végrehajtás, a megoldás vizsgálata – kezdődik, de valójában a legnagyobb hangsúlyt a feladatmegoldást akadályozó esetek, a meg nem értés, az elakadás alapos kiértékelése kap. Az amúgy igen érdekes és mostanában nem széleskörűen ismert matematikai feladatok megoldása ebben a könyvben nem azt jelenti, hogy szépen levezetjük, hogy milyen ismeretekből milyen következtetést vonunk le, ezzel elérve a helyes választ. A tanár úr rendszerint a megértés nehézségeinek bemutatásával kezdi a könnyebb, vagy nehezebb matematikai problémák bemutatását, azonnal mellétéve azokat a kérdéseket, amikkel ezeken a pontokon átsegíthetjük a gyerekeket. Persze azt is egyértelművé teszi, hogy milyen is a jó kérdés: nem tartalmaz túl sok információt, hogy a diák dolgozzon, de nem is semmitmondó. Pólya György szerint az a jó tanár-diák együttműködés, amikor a munka megfelelő hányada esik a diákra, akkora része, hogy legyen benne erőfeszítés, de ne legyen elérhetetlen a megoldás. Vagyis a matematikus hallgatók körében ismert, talán egy vizsgán valaha el is hangzott „Nos?” nem tekinthető megfelelő segítségnek…

Ha pedig már teljesen átfogalmaztuk a diákunkkal a kérdést, annyira, hogy semmilyen matematikai szakszó nem szerepel benne (de ezzel jelentésén nem változtattunk), elképzeltük, megértettük, és mégsem tudunk előrébb lépni a megoldásban, akkor érdemes az analógiához nyúlni segítségért: „Ha nem boldogulsz a kitűzött feladattal, próbálkozzál először egy rokon feladattal.” Persze az sem árt, ha ez az unokaöcs feladat egy kicsit könnyebb az eredetinél, és nagyon látványosan hasonlít rá… Ez a gondolat szinte minden, a könyvben bemutatott feladatmegoldásban fontos szerepet kap.

Az elakadás esetére más tanácsot is kapunk: akkor tudunk kilábalni az ötlettelenségből, ha nem úgy járunk el, mint egy példaként említett dongó, aki a szobából menekülni szeretne az ablakon keresztül, ám a nyitott ablak melletti zárt ablakon próbálkozik: nekirepül, koppan, leesik, aztán újra nekirepül, koppan, leesik… ügyet sem vetve a szomszédos nyitott ablakra. „Az ember értelmesebben tudja – vagy kell, hogy tudja – variálni kísérleteit. Több értelemmel kutatja a különböző lehetőségeket, tanul hibáiból és kudarcaiból.” Változtasd meg tehát a feladatot, végy egy új, egy tiszta lapot, ha már teljesen összefirkáltad a vázlatodat, és új szempontokkal, új segédvonalakkal, a fontos elemek másfajta összerakásával folytasd a munkád! Ehhez pedig szabad, sőt kötelező asszociációkat használnod!

Ha pedig túl nagy feladatot vállaltunk, és úgy érezzük, hogy nagyon, de igazán nagyon meg akarjuk oldani, akkor érdemes pihentetnünk is egy-két napig a problémát. Ha valóban elkötelezettek vagyunk, akkor tudat alatt is munkálkodik bennünk a gondolat, és egyszer csak, néha váratlanul is, de megfogalmazódik az az ötlet, ami a helyes válaszhoz elvezet. Bár A gondolkodás iskoláját az 1940-es évek közepén alkotta Pólya György, a pszichológia tudománya azóta igazolta is ezt a gondolatát.

De térjünk vissza 2020-as évekbe, a matematikaérettségihez, így azonnal kiderül, miért is fontos annyira hangsúlyozni a könyvbéli módszerek, technikák fontosságát!

Ha visszatekintünk a már diplomázott volt diákjainkra, akikből például orvosok, jogászok, pszichológusok lettek, a képességeikhez mérten többen mesélik magukról, hogy mennyire „küzdöttek” a matekkal, mennyire nem szerették, nem értették, néha még féltek is az órákon… Miért is van ez így? Pedig a középszintű érettségi feladatainak egy részét a 8. évfolyamos ismeretek alapján is meg lehet oldani. Ezen a feladatok nehézségi szintje az orvosi, jogi stb. diploma megszerzéséhez képest nem lehet túl magas…A diákok képességei közül hiányozna valami, vagy motivációs gondok lehetnek? A matematikai képességeket jól mutatja az Országos Kompetenciamérés. Ha a hétfokú skáláját összevetjük az év végi jegyekkel, akkor azt tapasztaljuk, hogy a 4-5-6-7-es szinten vannak azok a diákjaink, akik legalább jó osztályzatot kapnak év végén. Ők a vizsgált diákság 63,8%-át tették ki 2018-ban. Ez nem is olyan nagyon alacsony érték. Ugyanezen honlap adatai szerint ugyanez az évfolyam 2 év múlva érettségizett is. 69 040 érettségi vizsga közül 22 901 középszintű dolgozat érte el legalább jó teljesítményt. Ehhez hozzávehetjük az emelt dolgozatok közül a legalább 38%-ot elért eredményeket is. (Az emelt 37,37%-os teljesítmény megfelel a középszint jó eredményének.)

Így az évfolyamnak 53%-a teljesíti a legalább jó szintet. Ez csak egy elnagyolt közelítés, hiszen nem tudjuk ezen adatok alapján a diákok a két mérésben mutatott egyéni eredményét összevetni. Még ezzel a laza becsléssel is az adott évfolyam legalább 10%-a teljesített képességei alatt matematikából.

Lehet motivációs probléma? Nem is szabadna leírnom, annyira egyértelmű, hogy egy tantárgyban való sikerességet mennyire befolyásolja az iránta mutatott attitűd. Persze nemzetközi kutatásokkal természetesen bizonyított is az összefüggés. Már említettem, hogy a 2014-es PISA-háttérelemzésben a magyar diákok jellemzőit vizsgálták, okokat, magyarázatokat keresve a rangsorban elfoglalt helyzetünkre. Ebben az elemzésben megtalálható, hogy egy jó tanulási énkép, a magas önhatékonyság, az érdeklődés az adott témában egyértelműen szükséges és elégséges feltétele a jó teljesítménynek, sőt bizonyítható kapcsolat látható a matematikaórán folyó munkával is. A fenti tanulmányban részletesen bemutatásra került a magyar diákok tanulási motívumainak összehasonlítása a hozzánk hasonló jellegű országok diákjainak szintjével. Megjelenik, hogy a mi diákjaink nagy része memorizálni szereti a tananyagot matematikából, ami sajnos azt is jelenti, hogy a megértés nem is akkora igény számukra. Azt is alátámasztották a háttérkérdőívek másodelemzésével, hogy a tanórán folyó munka szignifikánsan meghatározza a diákok motivációját, tanulási stratégiáját. Ezen a téren a magyar diákok a leggyakrabban tanári magyarázatokkal találkoznak, és a hozzánk hasonló országok diákjaihoz képest kevésbé tanulhatnak a hibáikból, kevesebb más szövegezésű feladatot kapnak, kevesebb saját eljárást találhatnak ki.

Pedig Pólya György nem ezt tanácsolja nekünk, matematika tanároknak.

Talán ezek alapján különösen is fontos lenne országosan felmérni, hogy milyen módon segítik a matematika tanárok diákjaikat, kapnak-e az összefüggések felfedezéséhez jó kérdéseket a diákok az órákon, vagy sajnos valóban gyakran hangzik el az, hogy „Minek ezt érteni? Tanuld meg!” Ha pedig lenne valódi képünk a matematika órán folyó munkáról, ha valóban szembe mernénk nézni az igazi helyzettel, akkor ezzel új, releváns célt kaphatna a magyar oktatás irányítása.

Irodalom

Pólya György: A gondolkodás iskolája Bibliotheca, Budapest, 1957.